Question

已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E、F在AB上，∠ECF=45°，設(shè)△ABC的面積為S，說(shuō)明AF•BE=2S的理由．

Answer 1

分析：由AC=BC，∠ACB=90°，即可求得∠A=∠B=45°，即可證得：∠ECF=∠B，又由∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1，可證得：∠BCE=∠2，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可證得：△ACF∽△BEC，根據(jù)三角形面積的求解方法，則可證得：AF•BE=2S．

解答：證明：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ECF=∠B=45°，
∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，
∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；
∴∠BCE=∠2，
∵∠A=∠B，
∴△ACF∽△BEC．
∴

AC

BE

=

AF

BC

，
∴AC•BC=BE•AF，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

BE•AF，
∴AF•BE=2S．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．解此題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．