Question

（1）如圖1，AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，連結OC，若AB=10，CD=8，求AE的長．
（2）如圖2，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的長度．

Answer 1

分析：（1）根據垂徑定理可以得到CE的長，在直角△OCE中，根據勾股定理即可求得．
（2）先過點P作PE⊥OB于E，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AOP=∠COP，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠PCE=∠AOB=30°，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答即可．

解答：解：（1）∵AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E．
∴CE=

1

2

CD=4．
在直角△OCE中，OE=

OC2-CE2

=

52-42

=3．
則AE=OA-OE=5-3=2；

（2）如圖，過點P作PE⊥OB于E，
∵PC∥OA，
∴∠AOP=∠COP，
∴∠PCE=∠BOP+∠COP=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，
又∵PC=4，
∴PE=

1

2

PC=

1

2

×4=2，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，
∴PD=PE=2．

點評：此題考查了垂經定理和30°角的直角三角形，用到的知識點是垂經定理、勾股定理、直角三角形中0°角所對的直角邊等于斜邊的一半，關鍵是作輔助線構造出含30°的直角三角形．