Question

（1）求證關于x的一元二次方程x²+（m-3）x-3m=0一定有兩個實數根；
（2）若關于x的方程x²-2

2k-3

x+3k-6=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍；
（3）設（1）中方程的兩根為a、b，若（2）中的k為整數，且以k、a、b為邊的三角形恰好是一個直角三角形，試求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據根的判別式與一元二次方程的關系，可得△≥0，即可證得關于x的一元二次方程x²+（m-3）x-3m=0一定有兩個實數根；
（2）由關于x的方程x²-2

2k-3

x+3k-6=0有兩個不相等的實數根，可得△＞0，用含k的代數式表示出△，解不等式即可；
（3）首先表示出a，b，k，再由直角三角形需要滿足勾股定理，根據關系式求解即可．

解答：解：（1）∵a=1，b=m-3，c=-3m，
∴△=（m-3）²-4×1×（-3m）
=m²+6m+9
=（m+3）²≥0，
∴關于x的一元二次方程x²+（m-3）x-3m=0一定有兩個實數根；
（2）∵a=1，b=-2

2k-3

，c=3k-6，
∴△=（-2

2k-3

）²-4×1×（3k-6）
=8k-12-12k+24
=-4k+12，
∵關于x的方程x²-2

2k-3

x+3k-6=0有兩個不相等的實數根，
∴△=-4k+12＞0，
解得：k＜3；
∵2k-3≥0，
∴k≥

3

2

，
∴

3

2

≤k＜3；
（3）∵x²+（m-3）x-3m=0，
∴（x+m）（x-3）=0，
解得：x₁=-m，x₂=3，
∴a=-m，b=3，
∵k為整數，
∴k=2，
若k²+a²=b²，
即4+（-m）²=9，
∴m=±

5

，
∵a=-m＞0，
∴m＜0，
∴m=-

5

，
若k²+b²=a²，
則4+9=（-m）²，
解得m=±

13

，
∵m＜0，
∴m=-

13

，
∴m的值為-

5

或-

13

．

點評：此題考查了根的判別式（當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程沒有實數根），以及用因式分解法解一元二次方程．題目難度中等，解題時要注意分析問題要全面．