Question

（2013•成都一模）如圖所示，已知BC是⊙O的直徑，A、D是⊙O上的兩點．
（1）若∠ACB=58°，求∠ADC的度數；
（2）當

CD

=

1

2

AC

時，連接CD、AD，其中AD與直徑BC相交于點E，求證：2CD²=CE•BC；
（3）在（2）的條件下，若∠COD=45°，CE=

2

，求

BC•CE

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理以及三角形內角和定理得出∠ADC的度數；
（2）利用

CD

=

1

2

AC

時，得出∠COD=∠EDC，即可得出△DCE∽△OCD，進而得出2CD²=EC•BC；
（3）根據（2）中條件得出∠AOC=90°，進而得出半徑OB=x，AF=

2

x-1=AO=x，求出x的值，即可得出

BE•CE

AB

的值．

解答：解：（1）如圖1，∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵∠ACB=58°，
∴∠B=90°-58°=32°，
∴∠ADC=32°；

（2）如圖2，
∵

CD

=

1

2

AC

，
∴∠COD=∠EDC，
∵∠OCD=∠DCE，
∴△DCE∽△OCD，
∴

CD

CE

=

OC

CD

，
∴CD²=EC•CO，
∴2CD²=EC•BC；

（3）∵∠COD=45°，∠DAC=

1

2

∠COD，

CD

=

1

2

AC

，
∴AD平分∠OAC，∠AOC=90°，
如圖3，過點E作EF⊥AC，
由題意可得出：∠BCA=45°，
∵EC=

2

，
∴EF=1，
設半徑OB=x，AF=

2

x-1=AO=x，
解得：x=

2

+1，
∴BC=2（

2

+1）=2

2

+2，
AB=

2

（

2

+1），
∴

BC•CE

AB

=

(2 2 +2)× 2

2 ( 2 +1)

=2．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及圓周角定理和相似三角形的判定與性質等知識，根據已知得出⊙O的半徑是解題關鍵．