Question

已知關于x的方程x²-2ax-a+2b=0，其中a、b為實數．
（1）若此方程有一個根為2a（a＜0），判斷a與b的大小關系并說明理由；
（2）若對于任何實數a，此方程都有實數根，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把x=2a代入求值即可；
（2）只要讓根的判別式△=b²-4ac≥0，進行判斷即可．

解答：解：（1）∵方程x²-2ax-a+2b=0有一個根為2a，
∴4a²-4a²-a+2b=0，
整理，得b=

a

2

，
∵a＜0，
∴a＜

a

2

，
即a＜b；

（2）△=4a²-4（-a+2b）=4a²+4a-8b，
∵對于任何實數a，此方程都有實數根，
∴對于任何實數a，都有4a²+4a-8b≥0，即a²+a-2b≥0，
∴對于任何實數a，都有b≤

a2+a

2

，
∵

a2+a

2

=

1

2

（a+

1

2

）²-

1

8

，
當a=-

1

2

時，

a2+a

2

有最小值-

1

8

，
∴b的取值范圍是b≤-

1

8

．

點評：本題綜合考查了根的判別式和與一元二次方程系數的關系及二次函數的最值等知識點．