Question

已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點D、E，過點D作DF⊥BC，垂足為F
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若等邊三角形ABC的邊長為4，求DF的長；
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接DO，要證明DF為⊙O的切線只要證明∠FDP=90°即可；
（2）由已知可得到CD，CF的長，從而利用勾股定理可求得DF的長；
（3）連接OE，求得CF，EF的長，從而利用S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED求得陰影部分的面積．

解答：證明：（1）連接DO．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠C=60°．
∵OA=OD，
∴△OAD是等邊三角形．
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°，（2分）
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，
∴DF為⊙O的切線；（3分）

（2）∵△OAD是等邊三角形，
∴AD=AO=

1

2

AB=2．
∴CD=AC-AD=2．
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=

1

2

CD=1．
∴DF=

CD2-CF2

=

3

；（5分）

（3）連接OE，由（2）同理可知CE=2．
∴CF=1，
∴EF=1．
∴S_{直角梯形FDOE}=

1

2

（EF+OD）•DF=

3 3

2

，
∴S_扇形OED=

60π×22

360

=

2π

3

，
∴S_陰影=S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED=

3 3

2

-

2π

3

．（7分）

點評：此題考查學生對切線的判定及扇形的面積等知識點的掌握情況．