Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，D為AB的中點，DE交AC于點E，DF交BC于點F，且DE⊥DF，過A作AG∥BC交FD的延長線于點G．
（1）求證：AG=BF；
（2）若AE=9，BF=18，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于D是AB的中點，AG∥BC，易證，△ADG≌△BDF，可得結論．
（2）連接EG，根據全等三角形的性質及勾股定理不難求得EF的長．
解答：（1）證明：∵D是AB的中點，
∴AD=BD．
∵AG∥BC，
∴∠GAD=∠FBD．
∵∠ADG=∠BDF，（3分）
∴△ADG≌△BDF．（4分）
∴AG=BF．

（2）解：連接EG，
∵△ADG≌△BDF，
∴GD=FD．
∵DE⊥DF，
∴EG=EF．（6分）
∵AG∥BC，∠ACB=90°，
∴∠EAG=90°．（7分）
在Rt△EAG中，
∵EG²=AE²+AG²=AE²+BF²
∴EF²=AE²+BF²且AE=9，BF=18．（9分）
∴EF=9．（10分）
點評：本題綜合考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定及勾股定理等相關知識的應用能力．