Question

18、已知有長度分別為1，2，3，…，99的線段各一條，用這些線段連起來做邊長，能否構造成一個（1）正方形？（2）長方形？（3）正三角形？（要求：構造時所有這些線段都用到，每條線段不能分斷．如果不能構造，說明理由；如果能，寫出構造方法．）
解：（1）能否構造成正方形？

不能

，理由或方法如下：
（2）能否構造成長方形？

能

，理由或方法如下：
（3）能否構造成正三角形？

能

，理由或方法如下：

Answer 1

分析：（1）根據正方形的四條邊長相等即可判斷；
（2）要組成長方形，根據周長的公式知，周長為長加寬的和乘以2，即長加寬的和為：4950÷2=2475，且要使對邊分別相等，理論上可以組成長方形，只要列出一種方法即可；
（3）根據正三角形的三條邊相等即可解答．

解答：解：（1）不能，因為1+2+3+…+99=4950，而4950不能被4整除，故不能圍成正方形．
（2）能，方法不唯一，對1，2，3，…，9（9分）組成（1，98），（2，97）…（49，50），99，即可以組成50條長為99的線段，長方形的長與寬的和為25×99即可，如寬取99，那么長為24×99．
（3）方法一：取10，11，12，…，9（9分）成6條線段一組[（10，15），（11，14），（12，13）]，…[（99，94），（98，95），（97，96）]，共15組，三角形每一邊都從15大組中的一小組，剩余的1，2，3，…，9可以組成三條長15的線段（方法較多），這樣就可以將1，2，3，…，99不折斷分成相等的三組構造出等邊三角形．
方法二：如（2）分組，取45組99等分，然后把剩余的5組99等分，每一組分到165，如（99，66），（33，98，34），（65，1，99）．

點評：本題是一道開放題，難度較大，判斷出能否構成長方形和正三角形，只需舉出一個例子即可．