Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延長BC到E，使CE=AD．
（1）寫出圖中所有與△DCE全等的三角形，并選擇其中一對說明全等的理由；
（2）探究當等腰梯形ABCD的高DF是多少時，對角線AC與BD互相垂直？請回答并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）與△DCE全等的三角形有：△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE，可以用全等三角形的判定方法來進行驗證．
（2）需要根據已知條件及等腰梯形的性質，平行四邊形的性質得出BF=FE=3，因為DF=3，則∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°，從而推出∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°，根據平行的性質得出∠BGC=∠BDE=90°，即AC⊥BD．
解答：解：（1）△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE；（2分）
①△CDA≌△DCE的理由是：
∵AD∥BC，
∴∠CDA=∠DCE．（3分）
又∵DA=CE，CD=DC，（4分）
∴△CDA≌△DCE．（5分）
②△BAD≌△DCE的理由是：
∵AD∥BC，
∴∠CDA=∠DCE．（3分）
又∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD=∠CDA，
∴∠BAD=∠DCE．（4分）
又∵AB=CD，AD=CE，
∴△BAD≌△DCE．（5分）

（2）當等腰梯形ABCD的高DF=3時，對角線AC與BD互相垂直．（6分）
理由是：設AC與BD的交點為點G，∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=DB．
又∵AD=CE，AD∥BC，
∴四邊形ACED是平行四邊形，（7分）
∴AC=DE，AC∥DE．
∴DB=DE．（8分）
則BF=FE，
又∵BE=BC+CE=BC+AD=4+2=6，
∴BF=FE=3． （9分）
∵DF=3，
∴∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°，
∴∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°，
又∵AC∥DE
∴∠BGC=∠BDE=90°，即AC⊥BD．（10分）
（說明：由DF=BF=FE得∠BDE=90°，同樣給滿分．）
點評：此題考查了全等三角形有判定方法及等腰梯形的性質，要求學生在做題時要靈活運用．