Question

（2005•山西）如圖，在平面直角坐標系xOy，半徑為1的⊙O分別交x軸、y軸于A、B、C、D四點，拋物線y=x²+bx+c經過點C且與直線AC只有一個公共點．
（1）求直線AC的解析式；
（2）求拋物線y=x²+bx+c的解析式；
（3）點P為（2）中拋物線上的點，由點P作x軸的垂線，垂足為點Q，問：此拋物線上是否存在這樣的點P，使△PQB∽△ADB？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為⊙O的半徑為1，所以可知A、B、C、D四點的坐標，根據A、C兩點的坐標用待定系數法即可求出直線AC的解析式．
（2）因為C點坐標為（0，-1），拋物線過C點，所以c=-1，將y=-x-1代入解析式y=x²+bx-1得x²+（b+1）x=0，因為拋物線與直線只有一個交點，故判別式△=0，可求得b的值；
（3）假設存在符合條件的點P，根據相似三角形的性質，判斷出PQ=QB，列出關于P點坐標的表達式，即可解答．
解答：解：（1）由題意可知A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），D（0，1），
設過A、C兩點的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
把A（-1，0），C（0，-1）代入得，
解得，
故直線AC的解析式為y=-x-1；

（2）∵拋物線過C（0，-1），
∴x²+（b+1）x=0，
∵直線AC與拋物線只有一個公共點C，
∴方程x²+（b+1）x=O有兩個相等實數根，
即△=0，
∴b₁=b₂=-1，
∴拋物線解析式為y=x²-x-1；

（3）假設存在符合條件的點P，
設P點坐標為（a，a²-a-1），則Q（a，0），
∵△ADB為等腰直角三角形，△PQB∽△ADB，
∴△PQB為等腰直角三角形，又PQ⊥QB，
∴PQ=QB即|a²-a-1|=|a-1|，
當a²-a-1=a-1時，
解得：a₁=0，a₂=2；
當a²-a-1=-（a-1）時，
解得：a₃=，a₄=-，
∴a₁=0，a₂=2，a₃=，a₄=-，
∴存在符合條件的點P，共有四個，
分別為P₁（O，-1）、P₂（2，1）、P₃（，1-）、P₄（-，1+）．
點評：此題將二次函數、一次函數和圓的相關知識相結合，考查了用待定系數法求函數解析式、函數圖象交點個數與函數解析式組成的方程組解的個數的關系以及點的存在性問題，有一定的開放性．