Question

已知拋物線                  與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（-1,0），O是坐標原點，且．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）直接寫出直線BC的函數表達式；

（3）如圖1，D為y軸的負半軸上的一點，且OD=2，以OD為邊作正方形ODEF.將正方形ODEF以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向移動，在運動過程中，設正方形ODEF與△OBC重疊部分的面積為s，運動的時間為t秒（0＜t≤2）.

求：①s與t之間的函數關系式；

        ②在運動過程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值；如果不存在，請說明理由．

（4）如圖2，點P（1，k）在直線BC上，點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解:

（1）∵ A（-1,0）,

     ∴C（0,-3）    ………1′

∵拋物線經過A（-1,0）,

 C（0,-3）

     ∴

∴             

∴y=x²－2x－3                         …………………3′

（2）直線BC的函數表達式為y=x－3       …………………5′

（3）當正方形ODEF的頂點D運動到直線BC上時，設D點的坐標為（m，-2），

根據題意得： -2=m-3，∴m=1         …………………6′

①當0＜t≤1時

     S₁=2t                                …………………7′

     當1＜t≤2時

S₂= － =2t－

      =－                      …………………9′

 

②當t =2秒時，S有最大值，最大值為       ……………10′

（4）M ₁（－，）  M₂（，）

     M₃（，）    M₄（， ）………………14′