Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點M是拋物線上一點，以B，C，D，M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）由于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點均在坐標軸上，故設一般式解答和設交點式（兩點式）解答均可．
（2）分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運用兩點間距離公式建立起P點橫坐標和縱坐標之間的關系，再結合拋物線解析式即可求解．
（3）根據拋物線上點的坐標特點，利用勾股定理求出相關邊長，再利用勾股定理的逆定理判斷出直角梯形中的直角，便可解答．

解答：解：（1）∵拋物線與y軸交于點C（0，3），
∴設拋物線解析式為y=ax²+bx+3（a≠0），
根據題意，得

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）存在．
由y=-x²+2x+3得，D點坐標為（1，4），對稱軸為x=1．
①若以CD為底邊，則PD=PC，
設P點坐標為（x，y），根據兩點間距離公式，
得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²，
即y=4-x．
又P點（x，y）在拋物線上，
∴4-x=-x²+2x+3，
即x²-3x+1=0，
解得x₁=

3+ 5

2

，x₂=

3- 5

2

＜1，應舍去，
∴x=

3+ 5

2

，
∴y=4-x=

5- 5

2

，
即點P坐標為(

3+ 5

2

，

5- 5

2

)．
②若以CD為一腰，
∵點P在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關于直線x=1對稱，
此時點P坐標為（2，3）．
∴符合條件的點P坐標為(

3+ 5

2

，

5- 5

2

)或（2，3）．

（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據勾股定理，
得CB=3

2

，CD=

2

，BD=2

5

，
∴CB²+CD²=BD²=20，
∴∠BCD=90°，
設對稱軸交x軸于點E，過C作CM⊥DE，交拋物線于點M，垂足為F，在Rt△DCF中，
∵CF=DF=1，
∴∠CDF=45°，
由拋物線對稱性可知，∠CDM=2×45°=90°，點坐標M為（2，3），
∴DM∥BC，
∴四邊形BCDM為直角梯形，
由∠BCD=90°及題意可知，
以BC為一底時，頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況；
以CD為一底或以BD為一底，且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在．
綜上所述，符合條件的點M的坐標為（2，3）．

點評：此題是一道典型的“存在性問題”，結合二次函數圖象和等腰三角形、直角梯形的性質，考查了它們存在的條件，有一定的開放性．