Question

在△OAB中，O為坐標原點，橫、縱軸的單位長度相同，A、B的坐標分別為（8，6），（16，0），點P沿OA邊從點O開始向終點A運動，速度每秒1個單位，點Q沿BO邊從B點開始向終點O運動，速度每秒2個單位，如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動時間，當這兩點中有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．
求：（1）幾秒時PQ∥AB；
（2）設△OPQ的面積為y，求y與t的函數關系式；
（3）△OPQ與△OAB能否相似？若能，求出點P的坐標，若不能，試說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得，
當PQ∥AB時，=，
則：，得：

（2）過P作PC⊥OB，垂足為C，過A作AD⊥OB，垂足為D．則
=，=，
∴PC=，y=OQ•PC=（16-2t）•t=-+t；
∴y=-+t；

（3）能相似．
①若PQ∥AB，∴∠OAB=∠OPQ，∠ABO=∠PQO，
∴△OPQ∽△OAB，
∵t=，∴OP=，
∵==（其中AD=6，OA=10，OD=8）即==，
∴OC=，PC=，
∴P點坐標是（，）．
同理，當OPQ∽△OBA時，OC=，PC=
∴P₂（，）
P點的坐標是（，）或（，）
分析：（1）由兩點間的距離公式求得AO=10，然后根據平行線PQ∥AB分線段成比例知，據此列出關于t的方程，并解方程；
（2）過P作PC⊥OB，垂足為C，過A作AD⊥OB，垂足為D．構造平行線PC∥AQ，根據平行線分線段成比例及三角形的面積公式求得關于y與t的函數關系式；
（3）當PQ∥AB時，得到兩對同位角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得△OPQ∽△OAB．然后根據相似三角形的性質：對應線段成比例求得點P的坐標．
點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例及勾股定理的應用．解答此題的關鍵是通過作輔助線PC⊥OB，AD⊥OB構造平行線PC∥AQ，然后利用平行線分線段成比例來求出相關線段的長度．