Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分線，DE∥BC交AC于點E，DF∥AC交BC于點F．
求證：①四邊形CEDF是正方形．
②CD²=2AE•BF．

Answer 1

分析：①由于∠ACB=90°，DE∥BC，DF∥AC，利用平行線的性質，可得∠ECF=∠DEC=∠DFC=90°，可知四邊形CEDF是矩形，而CD是角平分線，那么有DE=DF，于是可證四邊形CEDF是正方形；
②由于DE∥BC，那么∠ADE=∠B，再加上一對直角相等，可證Rt△AED∽Rt△DFB，從而有DE•DF=AE•BF，
又四邊形CEDF是正方形，于是CD=

2

DE=

2

DF，從而易證CD²=2AE•BF．

解答：證明：①∵∠ACB=90°，DE∥BC，DF∥AC，
∴DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠ECF=∠DEC=∠DFC=90°，
∵CD是角平分線
∴DE=DF，
即四邊形CEDF是正方形；

②在Rt△AED和Rt△DFB中，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∴Rt△AED∽Rt△DFB，
∴

AE

DF

=

DE

BF

，
即DE•DF=AE•BF，
∵CD=

2

DE=

2

DF，
∴CD²=

2

DE•

2

DF=2DE•DF=2AE•BF．

點評：本題考查了平行線的性質、角平分線定理、正方形的判定和性質、相似三角形的判定和性質．注意一組鄰邊相等的矩形是正方形．