Question

王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15米（水渠的寬不計），請你計算這塊等腰三角形菜地的面積．

Answer 1

【答案】分析：本題要分等腰三角形的頂角是銳角或鈍角三種情況討論解答．
當頂角為銳角時，利用勾股定理求出AE，添加輔助線可求出△ABC的面積．
當頂角為鈍角時，作等腰三角形邊上的高，利用比例求出AF即可求解．
當頂角為直角時，連接AD，求出BD=AD=DC，求出BD、BC，即可求解
解答：解：根據題意，有三種情況：
（1）當等腰三角形為銳角三角形時（如圖1所示），
∵D為AB中點，
∴AD=DB，
∵AD=DB=20米，DE=15米，
∴AE==25（米），
過C點作CF⊥AB于F，
∴DE∥CF，
∴△ADE∽△AFC，
∴，
∴CF==24（米），
∴S_△ABC=AB•CF=×40×24=480（米²）；

（2）當等腰三角形為鈍角三角形時（如圖2所示），
過A點作AF⊥BC于F點，
∵AD=BD=20米，DE=15米，
∴BE=25米，
∵∠B=∠B，∠BDE=∠AFB，
∴△BDE∽△BFA，
∴==，
∴BF==32（米），
∴BC=2×32=64（米），AF=24米，
∴S_△ABC=×64×24=768（米²）；

（3）當等腰三角形是等腰直角三角形時，不符合情況．如圖：
∵∠BAC=90°，∠B=45°；∠BED=90°，∠EDB=45°，
∴∠B=∠EDB，BE=DE，
但∵BE=20米，DE=15米．
所以不符合情況．
點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質，關鍵是作出等腰三角形的高，并且要分三種情況討論解答．難度中等，要學會實際問題數學化，通過數學知識解決實際問題，是一種很重要的方法，要熟練掌握．