Question

如圖A是半圓上一個三等分點，B是的中點，P是直徑MN上一動點．已知⊙O半徑為1，求AP+BP的最小值    ．

Answer 1

【答案】分析：找點A或點B關于MN的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置．根據題意先求出∠CAE，再根據勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值．
解答：解：作點B關于MN的對稱點E，連接AE交MN于點P
此時PA+PB最小，且等于AE．
作直徑AC，連接CE，OE，
又∵B是的中點，
∴===，
又∵A是半圓的三等份點，
∴∠AOM=60°，∠MOE=∠AOM=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠CAE=45°，
又∵AC為圓的直徑，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=∠CAE=45°，
∴CE=AE=AC=，
即AP+BP的最小值是．
故答案為：．
點評：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，此題的難點是確定點P的位置：找點B關于MN的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和AE于MN的交點P就是所求作的位置．再根據弧的度數和圓心角的度數求出∠CAE，根據勾股定理求出AE即可．