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已知：如圖，A點是半圓上一個三等分點，B點是

的中點，P是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1，則AP+BP的最小值為多少？

分析：通過作輔助線，根據“兩點之間線段最短”可將AP+BP的最小值轉化為求直角三角形的斜邊長．

解答：

解：作A關于MN的對稱點A′，根據圓的對稱性，則A′必在圓上，
連接BA′交MN于P，連接PA，則PA+PB最小，此時PA+PB=PA′+PB=A′B，
連接OA、OA′、OB，
∵

，
∴∠AON=∠A′ON=60°．
∵

，
∴∠BON=

∠AON=30°．
∴∠A′OB=90°．
∴A′B=

OA′2+OB2

12+12

．
即AP+BP的最小值是

．

點評：本題主要考查圓心角，弧，弦之間的關系．

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（2012•鄂州）已知，如圖，△OBC中是直角三角形，OB與x軸正半軸重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=

，將△OBC繞原點O逆時針旋轉60°再將其各邊擴大為原來的m倍，使OB₁=OC，得到△OB₁C₁，將△OB₁C₁繞原點O逆時針旋轉60°再將其各邊擴大為原來的m倍，使OB₂=OC₁，得到△OB₂C₂，…，如此繼續下去，得到△OB₂₀₁₂C₂₀₁₂，則m=

．點C₂₀₁₂的坐標是

（-2²⁰¹³，0）

．

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已知：如圖，過點O且半徑為5的⊙P交x的正半軸于點M（2m，0），交y軸的負半軸于點D；弧OBM與弧

OAM關于x軸對稱，其中A、B、C是過點P且垂直于x軸的直線與兩弧及圓的交點，以點B為頂點且過點D的拋物線l交⊙P與另一點E．
（1）當m=4時，求出拋物線l的函數關系式并寫出點E的坐標；
（2）當m取何值時，四邊形BDCE面積最大？最大面積是多少？
（3）是否存在實數m，使得四邊形BDCE為菱形？并說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題