Question

某公園有一個邊長為4米的正三角形花壇，三角形的頂點A、B、C上各有一棵古樹．現決定把原來的花壇擴建成一個圓形或平行四邊形花壇，要求三棵古樹不能移動，且三棵古樹位于圓周上或平行四邊形的頂點上．以下設計過程中畫圖工具不限．
（1）按圓形設計，利用圖1畫出你所設計的圓形花壇示意圖；
（2）按平行四邊形設計，利用圖2畫出你所設計的平行四邊形花壇示意圖；
（3）若想新建的花壇面積較大，選擇以上哪一種方案合適？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過A、B、C作圓即可，具體作法是：分別作AB、BC的垂直平分線，兩線交于點O，以O為圓心，OA長為半徑即可作圓；
（2）分別過A、C作BC、AB的平行線，兩線交于點D，平行四邊形ABCD即為所求；
（3）連接AO并延長交BC于D．可知AD是等邊三角形的高，連接OB，在直角三角形OBD中，利用BD=0.5BC=2，∠OBD=30度，結合三角函數，求出半徑和圓的面積，而平行四邊形的面積等于三角形ABC面積的2倍，比較即可求出答案．

解答：解：
（1）（2）
；

（3）連接OB，OA，并延長AO交BC于D，
∵r=OB=

BD

cos30°

=

4

3

3

，
∴S_⊙O=πr²=

16π

3

≈16.75，
又S_{平行四邊形}=2S_△ABC=2×

1

2

×4²×sin60°=8

3

≈13.86，
∵S_⊙O＞S_{平行四邊形}，
∴選擇建圓形花壇面積較大．

點評：本題需利用圓的有關知識結合三角函數解決問題．