Question

（2010•仙桃）如圖，半圓O的直徑AB=7，兩弦AC、BD相交于點E，弦CD=，且BD=5，則DE等于（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據圓周角定理得出的兩組相等的對應角，易證得△AEB∽△DEC，根據CD、AB的長，即可求出兩個三角形的相似比；設BE=x，則DE=5-x，然后根據相似比表示出AE、EC的長，連接BC，首先在Rt△BEC中，根據勾股定理求得BC的表達式，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求得x的值，進而可求出DE的長．
解答：解法一：
∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，
∴△AEB∽△DEC；
∴=；
設BE=2x，則DE=5-2x，EC=x，AE=2（5-2x）；
連接BC，則∠ACB=90°；
Rt△BCE中，BE=2x，EC=x，則BC=x；
在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10-3x，BC=x；
由勾股定理，得：AB²=AC²+BC²，
即：7²=（10-3x）²+（x）²，
整理，得4x²-20x+17=0，解得x₁=+，x₂=-；
由于x＜，故x=-；
則DE=5-2x=2．

解法二：連接OD，OC，AD，
∵OD=CD=OC
則∠DOC=60°，∠DAC=30°
又AB=7，BD=5，
∴AD=2，
在Rt△ADE中，∠DAC=30°，
所以DE=2．
故選A．
點評：此題主要考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質、勾股定理的應用等知識；本題要特別注意的是BE、DE不是相似三角形的對應邊，它們的比不等于相似比，以免造成錯解．