Question

如圖，將直線y=-2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點．若點P是二次函數y=-x²+3x圖象在y軸右側部分上的一個動點，且以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，則點P的坐標為

（2，2）、（

1

2

，

5

4

）、（

11

4

，

11

16

）、（

13

5

，

26

25

）

．

Answer 1

分析：設D（0，2a），則直線CD解析式為y=-2x+2a，可知C（a，0），以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，分別為∠CDP=90°和∠DCP=90°兩種情況，分別求P點坐標即可．

解答：解：設D（0，2a），則直線CD解析式為y=-2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2，
則OD=2a，OC=a，根據勾股定理可得：CD=

5

a，
以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，
①當∠CDP=90°時，若PD：DC=OC：OD=1：2，則PD=

5

2

a，設P的橫坐標是x，則P點縱坐標是-x²+3x，
根據題意得：

x2+(-x2+3x-2a)2=( 5 a 2 )2 ( 5 a)2+( 5 2 a)2=(-x2+3x)+(x-2)2

解得：

x= 1 2 a= 1 2

，
則P的坐標是：（

1

2

，

5

4

）；
若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），
②當∠DCP=90°時，若PC：DC=OC：OD=1：2，則P（

11

4

，

11

16

），
若DC：PD=OC：OD=1：2，則P（

13

5

，

26

25

），
綜上可知：若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，則點P的坐標為：（2，2）、（

1

2

，

5

4

）、（

11

4

，

11

16

）、（

13

5

，

26

25

）．
故答案為：（2，2）、（

1

2

，

5

4

）、（

11

4

，

11

16

）、（

13

5

，

26

25

）．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用及相似三角形的判定．關鍵是利用平行線的解析式之間的關系，相似三角形的判定與性質，分類求解．