Question

【題目】（操作體驗）

如圖①，已知線段AB和直線l，用直尺和圓規在l上作出所有的點P，使得∠APB=30°，如圖②，小明的作圖方法如下：

第一步：分別以點A，B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧在AB上方交于點O；

第二步：連接OA，OB；

第三步：以O為圓心，OA長為半徑作⊙O，交l于；

所以圖中即為所求的點．（1）在圖②中，連接，說明∠=30°

（方法遷移）

（2）如圖③，用直尺和圓規在矩形ABCD內作出所有的點P，使得∠BPC=45°，（不寫做法，保留作圖痕跡）．

（深入探究）

（3）已知矩形ABCD，BC=2．AB=m，P為AD邊上的點，若滿足∠BPC=45°的點P恰有兩個，則m的取值范圍為________．

（4）已知矩形ABCD，AB=3，BC=2，P為矩形ABCD內一點，且∠BPC=135°，若點P繞點A逆時針旋轉90°到點Q，則PQ的最小值為________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2≤m<；（4）．

【解析】

（1）先根據等邊三角形得：∠AOB=60°，則根據圓周角定理可得：∠=30°；

（2）先作等腰直角三角形BEC、BFC，再作△EBC的外接圓，可得圓心角∠BOC=90°，則所對的圓周角都是45°；

（3）先確定⊙O，根據同弧所對的圓周角相等可得AD在四邊形GEFH內部時符合條件；

（4）先確定⊙O，根據圓周角定理正確畫出∠BPC=135°，利用勾股定理求OF的長，知道A、P、O在同一直線上時，AP最小，則PQ的值最小，求AE的長，即是AP的長，可得PQ的最小值．

∵OA=OB=AB，

∴△OAB是等邊三角形，

∴∠AOB=60°，

由圖②得：∠=∠AOB=30°；

如圖③，①以B、C為圓心，以BC為半徑作圓，交AB、DC于E、F，

②作BC的中垂線，連接EC，交于O，

③以O為圓心，OE為半徑作圓，

則上所有的點（不包括E、F兩點）即為所求；

如圖④，同理作⊙O，

∵BE=BC=2，

∴CE=，

∴⊙O的半徑為，即OE=OG=，

∵OG⊥EF，

∴EH=1，

∴OH=1，

∴GH=，

∴BE≤AD<MN，

∴2≤m<，即2≤m<，

故答案為：2≤m<；

如圖⑤，構建⊙O，使∠COB=90°，在優弧上取一點H，則∠CHB=45°

∴∠CPB=135°，

由旋轉得：△APQ是等腰直角三角形，

∴PQ=AP，

∴PQ取最小值時，就是AP取最小值，

當P與E重合時，即A、P、O在同一直線上時，AP最小，則PQ的值最小，

在Rt△AFO中，AF=1，OF=3+1=4，

∴AO=，

∴AE==AP，

∴PQ=AP==．

故答案為：．