Question

如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)D，CE平分∠ACD，分別交AD、BD于E、G，EF∥AC交CD于F，連接OE下列結(jié)論：①EF=AE，②∠AOE=∠AEO，③OG=

1

2

AE，④S_△ACE=2S_△DCE，⑤AB=(

2

+1)DG．其中正確的是（　　）

A．①③⑤

B．①②④

C．①③④

D．②③⑤

Answer 1

分析：正方形的四個(gè)角是直角，對(duì)角線垂直相等且平分每一組對(duì)角，以及對(duì)應(yīng)線段成比例，勾股定理知識(shí)的應(yīng)用．

解答：解：∵CE平分∠ACD，EF∥AC，
∴△CFE是等腰三角形，
∴CF=EF，
∵CF=AE，
∴EF=AE．（故①正確）．
∵EF≠AO，
∴AE≠AO．（故②錯(cuò)誤）．

作CA的垂線MA和CE的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)，
∵GO=

1

2

MA，
∵CM為∠ACD的平分線，
∴∠DCE=∠ACM，又∠CDE=∠CAM=90°，
∴∠CED=∠M，又∠CED=∠AEM，
∴∠AEM=∠M，
∴MA=AE，
∴GO=

1

2

AE，（故③正確）．

設(shè)GO=x，
∵GO=

1

2

AE=

1

2

EF，
∴EF=AE=2x，
∴DN=NE=

1

2

EF=x，
∴DE=

2

x，
∵EF∥AC，
∴

EF

AC

=

DE

AD

，
∴AC=2（

2

+1）x，
∴OD=OA=（

2

+1）x，
∴DG=DO-OG=

2

x，
∵AB=DA=DE+AE=

2

x+2x，
∴AB=（

2

+1）DG．（故⑤正確）．
∵

AE

DE

=

2

，
∴S_△ACE=

2

S_△DCE．
（故④錯(cuò)誤）．
故正確的為①③⑤．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及勾股定理的知識(shí)點(diǎn)．