Question

（2005•南通）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對角線AC⊥BD，垂足為F，過點F作EF∥AB，交AD于點E，CF=4cm．
（1）求證：四邊形ABFE是等腰梯形；
（2）求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DM⊥AB，根據已知可求得四邊形BCDM為矩形，從而得到DC=MB，因為AB=2DC，從而推出△ABD是等腰三角形，從而得到∠DAB=∠DBA，因為EF∥AB，AE不平行FB，所以AEFB為梯形，從而根據同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形得證；
（2）由已知可得到△DCF∽△BAF，根據相似三角形的對應邊成比例，可得到AF的長，再根據△BCF∽△ACB，得到BF²=CF•AF，從而求得BF的長，由第一問已證得BF=AE，所以就求得了AE的長．
解答：（1）證明：過點D作DM⊥AB，
∵DC∥AB，∠CBA=90°，
∴四邊形BCDM為矩形．
∴DC=MB．
∵AB=2DC，
∴AM=MB=DC．
∵DM⊥AB，
∴AD=BD．
∴∠DAB=∠DBA．
∵EF∥AB，AE與BF交于點D，即AE與FB不平行，
∴四邊形ABFE是等腰梯形．

（2）解：∵DC∥AB，
∴△DCF∽△BAF．
∴==．
∵CF=4cm，
∴AF=8cm．
∵AC⊥BD，∠ABC=90°，
在△ABF與△BCF中，
∵∠ABC=∠BFC=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∵∠FBC+∠ABF=90°，
∴∠FAB=∠FBC，
∴△ABF∽△BCF（AA），即=，
∴BF²=CF•AF．
∴BF=4cm．
∴AE=BF=4cm．
點評：此題主要考查學生對等腰梯形的判定及相似三角形的判定的理解及運用．