Question

附加題．已知函數y=x+2的圖象與x、y軸分別交于點A、B，問：在x軸上是否存在這樣的點P，使得△ABP為等腰三角形？若存在，求點P的坐標；否則，請說明理由．

Answer 1

解：存在點P使得△ABP為等腰三角形，點P在AB的垂直平分線與x軸的交點上；
如圖所示：
∵函數y=x+2的圖象與x、y軸分別交于點A、B，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴AO=2，BO=2，
設OP=x，
∵點P在AB的垂直平分線與x軸的交點上
∴AP=BP=2-x，
在Rt△POB中，BO²+PO²=BP²，
2²+x²=（2-x）²，
解得：x=，
∴P（-，0）．
當以A為圓心AB長為半徑畫圓，
∵AO=2，BO=2，
∴AB==4，
則P₁（4-2，0），P₂（-4-2，0），
當以B為圓心AB長為半徑畫圓，
P₃（2，0）．
綜上所述：P點坐標為：（-，0），P₁（4-2，0），P₂（-4-2，0），P₃（2，0）．
分析：存在點P使得△ABP為等腰三角形，點P在AB的垂直平分線與x軸的交點上，根據線段垂直平分線的性質可得AP=BP，根據函數關系式算出一次函數與坐標軸的交點A、B的坐標，可得AO=2，BO=2，設OP=x，則AP=BP=2-x，在Rt△POB中運用勾股定理可計算出P點坐標，再分別以A、B為圓心AB長為半徑畫圓，與x軸交點也是所求的P點．
點評：此題主要考查了一次函數與坐標軸的交點，以及等腰三角形的性質，勾股定理的應用，關鍵是根據等腰三角形的性質判斷出P點在AB的垂直平分線與x軸的交點上．