Question

設關于x的二次方程（a²+1）x²-4ax+2=0的兩根為x₁，x₂，若2x₁x₂=x₁-3x₂，試求a的值．

Answer 1

分析：先根據一元二次方程根與系數的關系得出x₁+x₂及x₁•x₂，代入2x₁x₂=x₁-3x₂中即可求出a的值，再把所得a的值代入原方程檢驗即可．

解答：解：∵關于x的二次方程（a²+1）x²-4ax+2=0的兩根為x₁，x₂，
∴x1+x2=

4a

a2+1

①，
x1x2=

2

a2+1

②
∵2x₁x₂=x₁-3x₂，
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）=2（x₁-x₂），平方得4（x₁x₂）²+4x₁x₂（x₁+x₂）=3（x₁+x₂）²-16x₁x₂，
將式①、②代入后，解得a=3，a=-1，
當a=3時，原方程可化為10x²-12x+2=0，△=12²-4×10×2=64＞0，原方程成立；
當a=-1時，原方程可化為2x²+4x+2=0，△=4²-4×2×2=0，原方程成立．
∴a=3或a=-1．

點評：本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，在解答此類題目時一定要把所得結果代入原方程進行檢驗，舍去不合題意的未知數的值．