Question

設關于x的二次方程（a-1）x²-（a²+a+1）x+2a²+a=0當a

 

時，此方程至少有一個正整數解；當a

 

時，此方程有兩個正整數解；當a

 

時，此方程有兩個負整數解．

Answer 1

分析：運用十字相乘法分解一元二次方程，然后得出方程的根，利用特殊值法可以解決方程有兩個負整數解以及方程有兩個正整數解的情況．

解答：解：原方程變形為[（a-1）x-（2a+1）]（x-a）=0
當a=1時，原方程只有一個根x=a；當a≠1時，其二根為x1=a，x2=

2a+1

a-1

，因此，
（1）當a為任何正整數時，方程至少有一個正整數根，
（2）要使方程二根均為正整數，由于x2=

2a+1

a-1

=

(2a-2)+3

a-1

=2+

3

a-1

，所以，當a為正整數，只要3能被a-1整除，則x₂是正整數，故只須取a=2或a=4即可，當a=2時，方程有兩個正整數根x₁=2，x₂=5；
當a=4時，方程有兩個正整數根x₁=4，x₂=3；
（3）當x₁=a為負整數時，由a-1＜0，2a+1＜0，∴x2=

2a+1

a-1

＞0，為正數，∴無論a取何值，方程兩根不會是負整數．

點評：此題主要考查了十字相乘法解一元二次方程，綜合性較強，難度較大，題目比較典型．