Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BC=2AD．DE⊥BC，垂足為點F，且F是DE的中點，聯結AE，交邊BC于點G．
（1）求證：四邊形ABGD是平行四邊形；
（2）如果AD=，求證：四邊形DGEC是正方形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得DC=EC，根據等邊對等角可得∠DCF=∠ECF，再求出∠B=∠ECF，然后根據內錯角相等，兩直線平行求出AB∥EC，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形ABEC是平行四邊形，再根據平行四邊形的對角線互相平分求出BG=CG=BC，然后求出AD=BG，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定即可；
（2）根據平行四邊形的對邊平行且相等可得AB∥DG，AB=DG，然后求出DG∥EC，DG=EC，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求出四邊形DGEC是平行四邊形，再根據鄰邊相等的四邊形是菱形判定為菱形，然后根據勾股定理逆定理求出∠GDC=90°，根據一個角是直角的菱形是正方形證明．
解答：證明：（1）∵DE⊥BC，且F是DE的中點，
∴DC=EC，
即得∠DCF=∠ECF，
又∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠DCF，AB=EC，
∴∠B=∠ECF，
∴AB∥EC，
又∵AB=EC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴BG=CG=BC，
∵BC=2AD，
∴AD=BG，
又∵AD∥BG，
∴四邊形ABGD是平行四邊形；

（2）∵四邊形ABGD是平行四邊形，
∴AB∥DG，AB=DG，
又∵AB∥EC，AB=EC，
∴DG∥EC，DG=EC，
∴四邊形DGEC是平行四邊形，
又∵DC=EC，
∴四邊形DGEC是菱形，
∴DG=DC，
由AD=AB，即得CG=DC=DG，
∴DG²+DC²=CG²，
∴∠GDC=90°，
∴四邊形DGEC是正方形．
點評：本題考查了正方形的判定，主要來源平行四邊形的判定與性質，菱形的判定，勾股定理逆定理，理清平行四邊形，菱形，正方形的聯系與區別并熟記各圖形的判定方法是解題的關鍵．