Question

【題目】

如圖1，拋物線y=ax2+bx+ ，經過A（1，0）、B（7，0）兩點，交y軸于D點，以AB為邊在x軸上方作等邊△ABC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點M，是S△ABM= S△ABC？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，E是線段AC上的動點，F是線段BC上的動點，AF與BE相交于點P．
①若CE=BF，試猜想AF與BE的數量關系及∠APB的度數，并說明理由；
②若AF=BE，當點E由A運動到C時，請直接寫出點P經過的路徑長（不需要寫過程）．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點A（1，0），B（7，0）代入拋物線的解析式得： ，

解得：a= ，b=﹣2．

∴拋物線的解析式為y= x2﹣2x+ ．

（2）解：存在點M，使得S△ABM= S△ABC．

理由：如圖所示：過點C作CK⊥x軸，垂足為K．

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．

∵CK⊥AB，

∴KA=BK=3，∠ACK=30°．

∴CK=3 ．

∴S△ABC= ABCK= ×6×3=9 ．

∴S△ABM= ×9 =12．

設M（a， a2﹣2a+ ）．

∴ AB|y|=12，即 ×6×（ a2﹣2a+ ）=12，

解得：a1=9，a2=﹣1．

∴點M的坐標為（9，4）或（﹣1，4）．

（3）解：①結論：AF=BE，∠APB=120°．

∵△ABC為等邊三角形，

∴BC=AB，∠C=∠ABF．

∵在△BEC和△AFB中 ，

∴△BEC≌△AFB．

∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．

∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．

∴∠APB=180°﹣60°=120°．

②當AE≠BF時，由①可知點P在以M為圓心，在以AB為弦的圓上，過點M作MK⊥AB，垂足為k．

∵∠APB=120°，

∴∠N=60°．

∴∠AMB=120°．

又∵MK⊥AB，垂足為K，

∴AK=BK=3，∠AMK=60°．

∴AK=2 ．

∴點P運動的路徑= = ．

當AE=BF時，點P在AB的垂直平分線上時，如圖所示：過點C作CK⊥AB，則點P運動的路徑=CK的長．

∵AC=6，∠CAK=60°，

∴KC=3 ．

∴點P運動的路徑為3 ．

綜上所述，點P運動的路徑為3 或 ．

【解析】（1）將點A（1，0），B（7，0）代入拋物線的解析式得到關于a、b方程組，解關于a、b的方程組即可求得a、b的值；
（2）過點C作CK⊥x軸，垂足為K．依據等邊三角形的性質可求得CK然后依據三角形的面積公式結合已知條件可求得S△ABM的面積，然后依據三角形的面積公式可得到關于a的方程，從而可得到點M的坐標；
（3）①首先證明△BEC≌△AFB，依據全等三角形的性質可知：AF=BE，∠CBE=∠BAF，然后通過等量代換可得∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，最后依據三角形的內角和定理可求得∠APB；
②當AE≠BF時，由①可知點P在以AB為直徑的圓上，過點M作ME⊥AB，垂足為E．先求得⊙M的半徑，然后依據弧長公式可求得點P運動的路徑；當AE=BF時，點P在AB的垂直平分線上時，過點C作CK⊥AB，則點P運動的路徑=CK的長．