Question

n是正整數，3n+1是完全平方數，證明：n+l是3個完全平方數之和．

Answer 1

證明：設3n+1=m²，則m=3k+1或m=3k+2（k是正整數）．
若m=3k+1，則n=

m2-1

3

=3k2+2k．
∴n+1=3k²+2k+1=k²+k²+（k+1）²．
若m=3k+2，則n=

m2-1

3

=3k2+4k+1
∴n+1=3k²+4k+2=k²+（k+1）²+（k+1）²．
故n+1是3個完全平方數之和．