Question

【題目】在中，為直線上一點，為直線上一點，

（1）如圖1，當在上，在上時，求證；

（2）如圖2，當在的延長線上，在的延長線上時，點在上，連接，且，求證：

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接當平分時，將沿著折至探究與的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）∠F＋2∠HGD＝90°，理由見解析

【解析】

（1）通過三角形內角和定理，可得∠AED＝∠ACB＝90°，可得結論；

（2）由直角三角形的性質和三角形內角和定理可得∠EAG＋∠AGE＝90°①，∠D＋∠F＝90°③，且2∠EAG∠D＝90°②，可以組成方程組，可得結論；

（3）由角平分線的性質和折疊的性質可得∠ADE＝2∠H，由外角性質可得∠ADE＝2∠DGH，由直角三角形的性質可得∠F＋2∠HGD＝90°．

（1）∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，

且∠ADE＋∠A＋∠AED＝180°，∠B＋∠A＋∠ACB＝180°，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，

∴DE⊥AB

（2）∵∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，

∴∠EAG＋∠AGE＝90°①，

∵∠EAG∠D＝45°，

∴2∠EAG∠D＝90°②，

∵∠D＋∠F＝90°③，

∴②＋③得：2∠EAG＋∠F＝180°④，

④①×2得：∠F2∠AGE＝0°，

∴∠F＝2∠AGE，

（3）如圖3，

∵BG平分∠ABC，

∴∠ABG＝∠ABC，

∵將△AGB沿著AG折至△AGH，

∴∠H＝∠ABG＝∠ABC，

∵∠ADE＝∠B，

∴∠ADE＝2∠H，且∠ADE＝∠H＋∠DGH，

∴∠H＝∠DGH，

∴∠ADE＝2∠DGH，

∵∠F＋∠CDF＝90°，

∴∠F＋2∠HGD＝90°．