Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一點，以O為圓心OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC交于點D，連接DE、DE、OC，且DE∥OC．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若DE•OC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由OD=OE，利用等邊對等角可得∠2=∠3，再利用DE∥OC；進而利用平行線的性質，可得∠3=∠4，∠1=∠2，等量代換可得∠1=∠4；再結合OB=OD，OC=OC，利用SAS可證△DOC≌△BOC，那么∠CDO=∠CBO，而∠ABC=90°，于是∠CDO=90°，即CD是⊙O的切線；
（2）由（1）可知∠2=∠4，而∠CDO=∠BDE=90°，易證△CDO∽△BDE，可得比例線段，OD：DE=OC：BE，又BE=2OD，可求OD．
解答：（1）證明：連接OD，
∵OE=OD，
∴∠2=∠3，
又∵DE∥OC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠4；
在△DOC和△BOC中，OD=OB，∠1=∠4，OC=OC，
∴△DOC≌△BOC，
∴∠CDO=∠CBO；
∵∠ABC=90°，
∴∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵BE是直徑，
∴∠BDE=90°，
在△COD和△BED中，∠2=∠4，∠EDB=∠ODC=90°，
∴△COD∽△BED，
∴OD：DE=OC：BE；
又∵BE=2OD，
∴2OD²=DE•OC，
∴OD=2．
點評：本題利用了等邊對等角、平行線的性質、全等三角形的判定和性質、切線的判定、直徑所對的圓周角等于90°、相似三角形的判定和性質．