Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，底邊CD的端點(diǎn)D在y軸上．直線CB的表達(dá)式為y=-x+，點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為（-4，0），（0，4）．動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)，在AB上勻速運(yùn)行．動(dòng)點(diǎn)Q自點(diǎn)B出發(fā)，在折線BCD上勻速運(yùn)行，速度均為每秒1個(gè)單位．當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t（秒）時(shí)，△OPQ的面積為s（不能構(gòu)成△OPQ的動(dòng)點(diǎn)除外）．
（1）求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）求s隨t變化的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)s有最大值？并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把y=4代入y=-x+，求得x的值，則可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，把y=0代入y=-x+，求得x的值，即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）作CM⊥AB于M，則可求得CM與BM的值，求得∠ABC的正弦值，然后分別從0＜t＜4時(shí)，當(dāng)4＜t≤5時(shí)與當(dāng)5＜t≤6時(shí)去分析求解即可求得答案；
（3）在（2）的情況下s的最大值，然后比較即可求得答案．
解答：解：（1）把y=4代入y=-x+，得x=1．
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）．
當(dāng)y=0時(shí)，-x+=0，
∴x=4．
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0）．

（2）作CM⊥AB于M，則CM=4，BM=3．
∴BC===5．
∴sin∠ABC==．
①0＜t＜4時(shí)，作QN⊥OB于N，
則QN=BQ•sin∠ABC=t．
∴S=OP•QN=（4-t）×t=-t²+t（0＜t＜4）．

②當(dāng)4＜t≤5時(shí)，（如圖1），
連接QO，QP，作QN⊥OB于N．
同理可得QN=t．
∴S=OP•QN=×（t-4）×t=t²-t（4＜t≤5）．

③當(dāng)5＜t≤6時(shí)，（如圖2），
連接QO，QP．
S=×OP×OD=（t-4）×4=2t-8（5＜t≤6）．

（3）①在0＜t＜4時(shí)，
當(dāng)t=-=2時(shí)，
S_最大==．
②在4＜t≤5時(shí)，對(duì)于拋物線S=t²-t，當(dāng)t=-=2時(shí)，
S_最小=×2²-×2=-．
∴拋物線S=t²-t的頂點(diǎn)為（2，-）．
∴在4＜t≤5時(shí)，S隨t的增大而增大．
∴當(dāng)t=5時(shí)，S_最大=×5²-×5=2．

③在5＜t≤6時(shí)，
在S=2t-8中，
∵k=2＞0，
∴S隨t的增大而增大．
∴當(dāng)t=6時(shí)，S_最大=2×6-8=4．
∴綜合三種情況，當(dāng)t=6時(shí)，S取得最大值，最大值是4．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，三角形面積的求解方法以及利用二次函數(shù)的知識(shí)求函數(shù)的最大值的問題．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題時(shí)要注意分類討論思想，方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．