Question

閱讀并解答下面問題：
（1）如圖所示，直線l的兩側有A、B兩點，在l上求作一點P，使AP+BP的值最小．（要求尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法和證明）
（2）如圖A、B兩個化工廠位于一段直線形河堤的同側，A工廠至河堤的距離AC為1km，B工廠到河堤的距離BD為2km，經測量河堤上C、D兩地間的距離為6km．現準備在河堤邊修建一個污水處理廠，為使A、B兩廠到污水處理廠的排污管道最短，污水處理廠應建在距C地多遠的地方？
（3）通過以上解答，充分展開聯想，運用數形結合思想，請你嘗試解決下面問題：若y=

x2+1

+

(9-x)2+4

，當x為何值時，y的值最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1）作點A關于l的對稱點A'，連接A'B，交l于點P，點P即為所求；
（2）利用（1）的方法即可求出P點的位置，由（1）知：A?與A關于CD對稱，點P為污水處理廠的位置，因為由題知：AC=1，BD=2，CD=6，設PC=x，由△A?CP∽△BDP得

A′C

BD

=

PC

PD

，所以

1

2

=

x

6-x

，求解即可；
（3）利用（2）中的方法，設AC=1，BD=2，CD=9，PC=x，
則PA?=

x2+1

，PB=

(9-x)2+4

，由（2）知，當A?，P，B共線時，PA?+PB=y最小，
這時，

x

9-x

=

1

2

，求解即可．

解答：解：（1）
（2分）

（2）由（1）知：A′與A關于CD對稱，點P為污水處理廠的位置，
由題知：AC=1，BD=2，CD=6，設PC=x，

由△A?CP∽△BDP得

A′C

BD

=

PC

PD

，（4分）
∴

1

2

=

x

6-x

，解得x=2，
∴污水處理廠應建在距C地2km的河堤邊．（6分）

（3）設AC=1，BD=2，CD=9，PC=x，
則PA?=

x2+1

，PB=

(9-x)2+4

，（7分）
由（2）知，當A?，P，B共線時，PA?+PB=y最小，（8分）
這時，

x

9-x

=

1

2

，解得x=3，
當x=3時，y=

x2+1

+

(9-x)2+4

值最小，（9分）
最小值為3

10

．（10分）

點評：本題需仔細分析題意，結合圖形，利用軸對稱即可畫出圖形，利用相似三角形即可求解．