Question

如圖，已知P是正方形ABCD邊BC上一點，BP=3PC，Q是CD的中點，
（1）求證：△ADQ∽△QCP；
（2）若AB=10，連接BD交AP于點M，交AQ于點N，求BM，QN的長．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質可表示出PC，DQ，CQ，AD的長，從而根據兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似來進行判定．
（2）根據相似三角形的對應邊成比例及已知不難求得BM，QN的長．

解答：證明：（1）∵正方形ABCD中，BP=3PC，Q是CD的中點
∴PC=

1

4

-BC，CQ=DQ=

1

2

CD，且BC=CD=AD
∴PC：DQ=CQ：AD=1：2
∵∠PCQ=∠ADQ=90°
∴△PCQ∽△ADQ

（2）∵△BMP∽△AMD
∴BM：DM=BP：AD=3：4
∵AB=10，
∴BD=10

2

，
∴BM=

30

7

2

同理QN=

5

3

5

點評：此題主要考查學生對正方形的性質及相似三角形的判定及性質的綜合運用．