Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連結BD、DP，BD與CF相交于點H．給出下列結論：

①△ABE≌△DCF；②∠PDF=15°；③；④,其中正確的結論有（ 　 ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

①利用等邊三角形的性質以及正方形的性質得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；

②利用等邊三角形的性質結合正方形的性質得出∠CPD=75°，進而得出答案；

③先得出，再根據CD=BP得出，進而根據相似三角形的性質即得．

；

④根據三角形面積計算公式，結合圖形得到△BPD的面積=△BCP的面積+△CDP面積-△BCD的面積，得出答案．

解：∵△BPC是等邊三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠ABE=∠DCF=30°，

在△ABE與△CDF中，

，

∴△ABE≌△DCF，故①正確；

∵PC=BC=DC，∠PCD=30°，

∴∠CDP=75°，

∴∠PDF=∠ADC-∠CDP=90°-75°=15°，故②正確；

∵∠PCD=30°，

∴DF=,根據勾股定理CD=FC，

∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，

∵∠DBC=45°，

∴∠PBD=15°，

∴∠FDP=∠PBD，

∵∠DFP=∠BPC=60°，

∴△DFP∽△BPH，

∴，故③正確；

如圖，過P作PM⊥CD，PN⊥BC，

設正方形ABCD的邊長是4，

∵△BPC為正三角形，

∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，

∴∠PCD=30°，

∴，

，

S△BPD=S四邊形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD

，

∴，故④正確；

故正確的有4個，

故選：D．