Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點P到x軸的距離是9，拋物線與x軸交于O、M兩點，OM=6；矩形ABCD的邊BC在線段OM上，點A、D在拋物線上．
（1）P點的坐標______、M點的坐標______；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設矩形ABCD的周長為l，C（x，0），求l與x的關系式，并求l的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線的頂點P到x軸的距離是9與拋物線過點O與M，OM=6，即可求得點P與M的坐標；
（2）設此拋物線的解析式為y=a（x-3）²+9，又由此函數過原點，利用待定系數法即可求得此拋物線的解析式；
（3）由點C的坐標，根據拋物線對稱性與矩形的性質，即可求得點D與B的坐標，則可求得CD與BC的長，則問題得解．
解答：解：（1）∵拋物線的頂點P到x軸的距離是9，
∴點P的縱坐標為9，
∵拋物線過點O與M，OM=6，
∴此拋物線的對稱軸為x=3，
∴P（3，9），M（6，0）；
故答案為：（3，9），（6，0）；

（2）設此拋物線的解析式為y=a（x-3）²+9，
∵此函數過原點，
∴a（0-3）²+9=0，
∴a=-1，
∴此拋物線的解析式為：y=-（x-3）²+9；

（3）∵C（x，0），
∴點D的坐標為（x，y），
∴y=-x²+6x，
∴點D的坐標為（x，-x²+6x），
點B的坐標為：（6-x，0）
∴BC=6-2x，CD=-x²+6x，
∴l=2（6-2x）+2（-x²+6x）=-2x²+8x+12=-2（x-2）²+20，
∴l與x的關系式為：l=-2（x-2）²+20，
當x=2時，最大值為20．
點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，矩形的性質，拋物線的對稱性等知識．此題綜合性很強，注意數形結合與方程思想的應用．