Question

如圖，在正方形ABCD中，點P是AB的中點，連接DP，過點B作BE⊥DP交DP的延長線于點E，連接AE，過點A作AF⊥AE交DP于點F，連接BF．
（1）若AE=2，求EF的長；
（2）求證：PF=EP+EB．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖由他就可以得出∠EAF=∠DAB=90°，AB=AD，可以得出∠1=∠2，由對頂角可以得出∠5=∠6，從而可以證明△AEB≌△AFD，可以求得AE=AF，再利用勾股定理就可以求出EF的值．
（2）如圖，過點A作AM⊥EF于M，由（1）可知△AEF是等腰直角三角形，可以得出∠AME=90°，由已知可以證明△BEP≌△AMP，可以得出BE=AM，EP=MP，進而求出結論．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，
∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，
∴∠1+∠FAB=∠2+∠FAB=90°，
∴∠1=∠2．
∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，
∴∠3=∠4．
在△AEB和△AFD中，
∵，
∴△AEB≌△AFD，
∴AE=AF=2，
在Rt△EAF中，由勾股定理，得
EF==2．
（2）過點A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，
∴△EAF為等腰直角三角形．
∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．
∵點P是AB的中點，
∴AP=BP．
在△AMP和△BEP中，
∵，
∴△AMP≌△BEP，
∴BE=AM，EP=MP，
∴MF=BE，
∴PF=PM+FM=EP+BE．

點評：本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質的運用，勾股定理的運用．在證明中涉及一條線段等于兩條線段的和時往往要運用截取法．