Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中P點從點A開始沿AB方向運動且速度為每秒lcm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，設出發的時間為t秒.

(1)出發2秒后，求線段PQ的長?

(2)當點Q在邊BC上運動時，出發兒秒鐘后，OPQB是等腰三角形?

(3)當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間?

Answer 1

【答案】(1)出發2秒后，線段PQ的長為；(2)當點Q在邊BC上運動時，出發秒后，△PQB是等腰三角形； (3)當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，△BCQ為等腰三角形.

【解析】

（1）根據點P、Q的運動速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）設出發t秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形，則BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；

（3）當點Q在邊CA上運動時，能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間有三種情況：①當CQ=BQ時（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；

②當CQ=BC時（如圖2），則BC+CQ=12，易求得t；

③當BC=BQ時（如圖3），過B點作BE⊥AC于點E，則求出BE，CE，即可得出t．

(1)BQ=2×2=4cm，BP=ABAP=82×1=6cm，

∵∠B=90°，

由勾股定理得：PQ=,

∴出發2秒后，線段PQ的長為；

(2)BQ=2t，BP=8-t ，

由題意得：2t=8-t ，

解得：t=，

∴當點Q在邊BC上運動時，出發秒后，△PQB是等腰三角形；

(3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，

∴AC==10.

①當CQ=BQ時(圖1)，則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒；

②當CQ=BC時(如圖2)，

則BC+CQ=12，

∴t=12÷2=6秒，

③當BC=BQ時(如圖3)，過B點作BE⊥AC于點E，

∴BE=，

所以CE===3.6，

故CQ=2CE=7.2，

所以BC+CQ=13.2，

∴t=13.2÷2=6.6秒.

由上可知，當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，△BCQ為等腰三角形.