Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=1，點D，E在直線BC上運動．設BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，試確定y與x之間的函數關系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，當α，β滿足怎樣的關系時，（1）中y與x之間的函數關系式還成立？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形ABC的性質、三角形外角定理以及等量代換等知識證得△ADB∽△EAC；然后由相似三角形的對應邊成比例列出比例式

AB

EC

=

BD

AC

即

1

y

=

x

1

，所以y=

1

x

（x≠0）；
（2）要使y=

1

x

，即

AB

EC

=

BD

AC

成立，須且只須△ADB∽△EAC．由于∠ABD=∠ECA，故只須∠ADB=∠EAC．又因為∠ADB+∠BAD=∠ABC=90°-

α

2

，∠EAC+∠BAD=β-α，所以90°-

α

2

=β-α，即β-

α

2

=90°．

解答：解：（l）在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠ABD=∠ACE=105°．
又∵∠DAE=105°．
∴∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=75°，
又∵∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，
∴∠DAB+∠CAE=∠DAB+∠ADB，
∴∠CAE=∠ADB，
∴△ADB∽△EAC，
∴

AB

EC

=

BD

AC

即

1

y

=

x

1

，所以y=

1

x

（x≠0）；

（2）當α、β滿足關系式β-

α

2

=90°時，函數關系式y=

1

x

成立．
理由如下：∵β-

α

2

=90°，
∴β-α=90°-

α

2

．
又∵∠EAC=∠DAE-∠BAC-∠DAB=β-α-∠DAB，
∠ADB=∠ABC-∠DAB=90°-

α

2

-∠DAB，
∴∠ADB=∠EAC；
又∵∠ABD=∠ECA，
∴△ADB∽△EAC，

AB

EC

=

BD

AC

，
∴

1

y

=

x

1

，所以y=

1

x

（x≠0）．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質；利用兩角對應相等得到兩三角形相似是解決本題的關鍵．