Question

已知：拋物線與x軸交于

點A(x₁，0)、B(x₂，0)，且x₁＜1＜x₂．

1.求A、B兩點的坐標(用a表示)；

2.設拋物線的頂點為C，求△ABC的面積；

3.若a是整數(shù)，P為線段AB上的一個動點(P點與A、B兩點不重合)，

在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN，記線段MN的中點為Q，求拋物線的

解析式及線段PQ的長的取值范圍．

 

Answer 1

 

1.∵拋物線與x軸交于點A(x₁，0)、B(x₂，0)，

∴x₁、x₂是關于x的方程的解．

方程可簡化為x²＋2(a－1)x＋(a²－2a)＝0．

解方程，得x＝－a或x＝－a＋2．

∵x₁＜x₂，－a＜－a＋2，

∴x₁＝－a，x₂＝－a＋2．

∴A、B兩點的坐標分別為A(－a，0)，B(－a＋2，0)．

2.∵AB＝2，頂點C的縱坐標為

∴△ABC的面積等于

3.x₁＜1＜x₂， ∴－a＜1＜－a＋2．

∴－1＜a＜1．

∵a是整數(shù)，

∴a＝0，所求拋物線的解析式為y＝

解法一：此時頂點C的坐標為

如圖，作CD⊥AB于D，連結CQ．

 

 

則AD＝1，

∴∠BAC＝60°．

由拋物線的對稱性可知△ABC是等邊三角形．

由△APM和△BPN是等邊三角形，線段MN的中點為Q可得，

點M、N分別在AC和BC邊上，四邊形PMCN為平行四邊形，

C、Q、P三點共線，且

∵點P在線段AB上運動的過程中，P與A、B兩點不重合，

解法二：設點P的坐標為P(x，0)(0＜x＜2)．

如圖，作MM₁⊥AB于M₁，NN₁⊥AB于N₁．

 

 

∵△APM和△BPN是等邊三角形，且都在x軸上方，

∴AM＝AP＝x，BN＝BP＝2－x，

∠MAP＝60°，∠NBP＝60°．

∴M、N兩點的坐標分別為

可得線段MN的中點Q的坐標為

由勾股定理得

∵點P在線段AB上運動的過程中，P與A、B兩點不重合，0＜x＜2，

 解析:略