Question

拋物線y=ax²+bx+c的圖象如圖所示，已知該拋物線與x軸交于A、B兩點，頂點為C，
（1）根據圖象所給信息，求出拋物線的解析式；
（2）求直線BC與y軸交點D的坐標；
（3）點P是直線BC上的一點，且△APB與△DOB相似，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據圖象直接得出二次函數的頂點式以及圖象經過點（-1，0），即可得出答案；
（2）根據二次函數解析式得出與x軸的交點坐標，進而得出直線解析式，即可得出答案；
（3）分別對當△PAB∽△DOB和當△APB∽△DOB，得出答案即可．

解答：解：（1）設y=a（x-1）²+4（2分）
∵圖象經過點（-1，0），
∴4a+4=0，a=-1（1分），
∴y=-x²+2x+3（1分）；

（2）-x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=-1，
∴B（3，0）（1分），
設y=kx+b（k≠0），

3k+b=0 k+b=4

，
解得

k=-2 b=6

，（1分）
∴y=-2x+6，（1分）
∴D（0，6）．（1分）

（3）設P（k，-2k+6），（k＜3），（1分）
當△PAB∽△DOB，k=-1，
∴-2k+6=2+6=8（1分），
∴P（-1，8），（1分）
當△APB∽△DOB，過點P作PF⊥x軸，垂足為點F，
∴∠ODB=∠PAB（1分），
∴tan∠PAB=tan∠ODB=

PF

AF

=

-2k+6

1+k

=

3

6

=

1

2

（1分），
∴k=

11

5

，∴P(

11

5

，

8

5

)（1分），
綜上所述，P的坐標是（-1，8）或(

11

5

，

8

5

)．

點評：此題主要考查了二次函數的頂點式求解析式以及直線解析式求法以及相似三角形的性質，根據相似三角形的性質解決二次函數問題是考查重點同學們應重點掌握．