Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AB=5，tan∠ABC=，點E從點D出發，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動，設運動時間為t(秒)，將線段CE繞點C順時針旋轉一個角α(α=∠BCD)，得到對應線段CF．

(1)求證：BE=DF；

(2)當t=___秒時，DF的長度有最小值，最小值等于___；

(3)如圖2，連接BD、EF、BD交EC、EF于點P、Q，當t為何值時，△EPQ是直角三角形?

(4)在點E的運動過程中，是否存在到直線AD的距離為1的點F，若存在直接寫出 t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 8， 4；(3)當t=3或5時，△EPQ是直角三角形；(4)存在， t =或

【解析】

（1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，結合DC=BC、CE=CF證△DCF≌△BCE即可得； （2）當點E運動至點E′，時，由DF=BE′知此時DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；

（3）①∠EQP=90°時，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°，根據AB=CD=5 ，tan∠ABC=tan∠ADC=，即可求得DE；

②∠EPQ=90°時，由菱形ABCD的對角線AC⊥BD知EC與AC重合，可得DE ；

（4）當在的上方時，如圖3，把繞Ｃ順時針旋轉得，連接GF分別交直線AD、BC于點M、N，過點F作FH⊥AD于點H，證△DCE≌△GCF，可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，從而知四邊形CDMN是平行四邊形，由平行四邊形得MN=CD；再由∠CGN=∠DCN=∠CNG知CN=CG=CD，根據tan∠ABC=tan∠CGN=，可得GM，由GF=DE=t可得FM， 利用tan∠FMH=tan∠ABC= ，即可得的值．同理可得：當在的下方時的值，

解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，

∴∠DCF=∠BCE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴DC=BC，

在△DCF和△BCE中，

∵

∴△DCF≌△BCE（SAS），

∴DF=BE；

（2）如圖1， 當點E運動至點E′，時，DF=BE′，此時DF最小，

在Rt△ABE′中，AB=5 ，tan∠ABC=tan∠BAE′=，

∴設AE′=x，則BE′=，

∴AB==，

則AE′=

∴DE′=DF=BE′=

故答案為： ；

（3）∵CE=CF， ∴∠CEQ＜90°，

①當∠EQP=90°時，如圖2①， ∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，

∴∠CBD=∠CEF，

∵∠BPC=∠EPQ，

∴∠BCP=∠EQP=90°，

∵AB=CD=5，tan∠ABC=tan∠ADC=，

由（1）得：菱形的高：

，

∴DE=3，

∴t=3秒；

②當∠EPQ=90°時，如圖2②， ∵菱形ABCD的對角線AC⊥BD，

∴EC與AC重合，

∴DE=5，

∴t=5秒；

綜上：當t=3或5時，△EPQ是直角三角形；

（4）存在．或

理由如下：

當在的上方時，如圖3，把繞Ｃ順時針旋轉得，

連接GF分別交直線AD、BC于點M、N，過點F作FH⊥AD于點H，

由（1）知∠1=∠2，

又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，

∴∠DCE=∠GCF，

在△DCE和△GCF中，

∵

∴△DCE≌△GCF（SAS），

∴∠3=∠4， ∵∠1=∠3，∠1=∠2，

∴∠2=∠4， ∴GF∥CD，

又∵AH∥BN，

∴四邊形CDMN是平行四邊形，

∴MN=CD=，

∵∠BCD=∠DCG，

∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，

∴GC=CN=CD=5，

∵tan∠ABC=tan∠CGN=，

∴GN=6，

∴GM=11，

∵GF=DE=t，

∴FM=t-11，

∵tan∠FMH=tan∠ABC=，

∴．

當在的下方時，如圖3，把繞Ｃ順時針旋轉得，

連接GF分別交直線AD、BC于點M、N，過點F作FH⊥AD于點H，

同理可得：四邊形CDMN是平行四邊形，

由

，

綜上：點E的運動過程中，存在到直線AD的距離為1的點F，此時，或