Question

下列命題：
①若a+b+c=0，則b²-4ac＜0；
②若b=2a+3c，則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根；
③若b²-4ac＞0，則二次函數y=ax²+bx+c的圖象與坐標軸的交點的個數是2或3；
④若b＞a+c，則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根．
其中正確的是（ ）
A．②④
B．①③
C．②③
D．③④

Answer 1

【答案】分析：①首先把a+b+c=0變形為b=-a-c，然后代入b²-4ac中利用完全平方公式即可解決問題；
②首先b=2a+3c代入方程的判別式中，然后利用非負數的性質即可解決問題；
③由于b²-4ac＞0，所以拋物線與x軸有兩個不同的交點，由此即可判定此結論是否正確；
④由于b＞a+c，只要給出一個反例即可解決問題．
解答：解：①∵a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∴b²-4ac=（-a-c）²-4ac=a²+2ac+c²-4ac=a²-2ac+c²=（a-c）²≥0，故錯誤；
②∵b=2a+3c，
∴b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4a²+12ac+9c²-4ac=4a²+8ac+9c²=4（a+c）²+5c²＞0，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根，故正確；
③∵b²-4ac＞0，
∴拋物線與x軸有兩個不同的交點，
∴二次函數y=ax²+bx+c的圖象與坐標軸的公共點的個數是3或2，故正確；
④∵b＞a+c，那么設b=2，a=-4，c=-2，
∴b²-4ac=4-32＜0，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0沒有實數根，故錯誤．
故選C．
點評：此題主要利用了二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交點的個數的判斷．