Question

【題目】（問題情境）如圖①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

（1）（問題解決）延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE（或將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷出中線AD的取值范圍是　 　．

（反思感悟）解題時，條件中若出現“中點”、“中線”字樣，可以考慮構造以該中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同個三角形中，從而解決問題．

（2）（嘗試應用）如圖②，△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的中線，試猜想線段AB，AC，AD之間的數量關系，并說明理由．

（3）（拓展延伸）如圖③，△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，DM⊥DN，DM交AB于點M，DN交AC于點N，連接MN．當BM＝4，MN＝5，AC＝6時，請直接寫出中線AD的取值范圍．(溫馨提示:如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那么可以用數學語言表達三邊關系,a2+b2＝c2)

Answer 1

【答案】（1）2＜AD＜8 （2）答案見解析 （3）1＜AD＜7

【解析】

（1）延長AD至E，使DE＝AD，由SAS證明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝8，在△ABE中，由三角形的三邊關系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；

（2）結論：AB2+AC2＝4AD2．延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖②所示，只要證明∠ABE＝90°，理由勾股定理即可證明；

（3）如圖，延長ND到E，使得DN＝DE，連接BE、EM．想辦法證明四邊形AMDN是矩形即可解決問題；

解：（1）延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示，

∵AD是BC邊上的中線，

∴BD＝CD，

在△BDE和△CDA中，

BD=CD

∠BDE=∠CDA

DE=AE，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴BE＝AC＝6，

在△ABE中，由三角形的三邊關系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，

∴2＜AD＜8；

故答案為：2＜AD＜8；

（2）結論：AB2+AC2＝4AD2．

理由：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖②所示，

由（1）可知：△BDE≌△CDA，

∴BA＝AC，∠E＝∠CAD，

∵∠BAC＝90°，

∴∠E+∠BAE＝∠BAE+∠CAD＝∠BAC＝90°，

∴∠ABE＝90°，

∴AB2+BE2＝AE2，

∴AB2+AC2＝4AD2．

（3）如圖，延長ND到E，使得DN＝DE，連接BE、EM．

∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDN，DE＝DN，

∴△BDE≌△CDN，

∴BE＝CM．∠EBD＝∠C，

∵∠ABC+∠C＝90°，

∴∠ABD+∠DBE＝90°，

∵MD⊥EN，DE＝DN，

∴ME＝MN＝5，

在Rt△BEM中，BE＝＝3，

∴CN＝BE＝3，

∵AC＝6，

∴AN＝NC，

∵∠BAC＝90°，BD＝DC，

∴AD＝DC＝BD，

∴DN⊥AC，

在Rt△AMN中，AM＝＝4

∴1＜AD＜7