Question

如圖①，邊長為4cm的正方形ABCD的頂點A與坐標原點0重合，邊AB在x軸上，點C在第四象限，當正方形ABCD沿x軸以1cm/秒的速度向右勻速運動，運動時間為t秒時，經過A、B兩點的拋物線y=ax²+bx+c與y軸相交于E點，其頂點為M．
（1）若正方形ABCD在運動過程中，拋物線y=ax²+bx+c的頂點M保持在正方形的內部，求a的取值范圍．
（2）設正方形ABCD在運動過程中，△ABE與△ABM的面積比為k，求k與運動時間為t（秒）之間的關系式．
（3）當正方形ABCD沿x軸向右運動2秒鐘時，在拋物線y=ax²+bx+c上存在一個點P，使△ABP為直角三角形，且△OPA∽△OBP，求此時拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知得出A（t，0），B（t+4，0），即可得出二次函數的對稱軸為x=t+2，設y=a（x-t-2）²+k，進而將A（t，0）代入得k=-4a，再根據-4a＜0，-4a＞-4得出a的取值范圍；
（2）根據△ABE與△ABM的面積比為k，分別表示出兩三角形面積即可；
（3）由△OPA∽△OBP得出比例式，求出OP=2，進而求出AP的長，得到P點坐標，即可求出拋物線的解析式．
解答：解：（1）∵A（t，0），B（t+4，0），
∴拋物線對稱軸為x=t+2．
設y=a（x-t-2）²+k，
將A（t，0）代入，得k=-4a，
∴y=a（x-t-2）²-4a，
∴頂點M（t+2，-4a），
由-4a＜0，-4a＞-4，
解得：0＜a＜1．

（2）由（1）知M（t+2，-4a），E（0，at²+4at）
；

（3）∵t=2，
∴y=a（x-4）²-4a，
當y=0時，x₁=2，x₂=6，
∴OA=2，OB=6，
∵△OPA∽△OBP，
∴==，
∴OP=2（負值舍去），
=，
∵△ABP為直角三角形，AB=4，
∴AP=2，BP=2=OP
作DF⊥AB于F，則OF=OB=3，
∴PF=，P（3，-），
由P在拋物線上得，a-4a=-，a=，
∴．

點評：此題主要考查了正方形的性質以及相似三角形的性質和頂點式求二次函數解析式等知識，相似三角形考查經常與二次函數綜合出現，題目綜合性較強，同學們應注意細心分析利用數形結合盡可能減少錯誤．