【題目】如圖，
內接于
，
是的直徑，
是
上一點，弦
交
于點
，弦
于點
，連接
，
，且
.
（1）求證：
；
（2）若
，
，求的長.
【答案】（1）詳見解析；（2）
【解析】
（1）證法一：連接
，利用圓周角定理得到
，從而證明
，然后利用同弧所對的圓周角相等及三角形外角的性質得到
，從而使問題得解；證法二：連接
,
，由圓周角定理得到
，從而判定
，得到
，然后利用圓內接四邊形對角互補可得
，從而求得，使問題得解；
（2）首先利用勾股定理和三角形面積求得AG的長，解法一：過點
作
于點
，利用勾股定理求GH，CH，CD的長；解法二：過點
作
于點
，利用AA定理判定
，然后根據相似三角形的性質列比例式求解.
（1）證法一：連接.
∵
為
的直徑，∴，
∴
∵
,∴
∴
∴.
∵
∴
∵
，
∴
∴
.
證法二：連接,.
∵為的直徑，∴
∵
∴
∴
,
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵四邊形
內接于，
∴
∴
∴
∴.
（2）解：在
中，
,
,
,
根據勾股定理得
.
連接，
∵為的直徑，
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴四邊形
是平行四邊形.
∴
.
在
中，
,
∴
解法一：過點作于點
∴
在
中，
,
∴
在
中，
∴
在
中，
∴
解法二：過點作于點
∴
∵
∴
∵
∴四邊形
為矩形
∴
.
∵四邊形為平行四邊形，
∴
∴
.
∵
，
∴
∴
即
∴
考前必練系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一個以點C為頂點的45°角繞點C旋轉，角的兩邊與BA，DA交于點M，N，與BA，DA的延長線交于點E，F，連接AC.
（1）在∠FCE旋轉的過程中，當∠FCA=∠ECA時，如圖1，求證：AE=AF；
（2）在∠FCE旋轉的過程中，當∠FCA≠∠ECA時，如圖2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示線段AE，AF之間的數量關系，并證明.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，S是矩形ABCD的AD邊上一點，點E以每秒kcm的速度沿折線BS－SD－DC勻速運動，同時點F從點C出發點，以每秒1cm的速度沿邊CB勻速運動．已知點F運動到點B時，點E也恰好運動到點C，此時動點E，F同時停止運動．設點E，F出發t秒時，△EBF的面積為
．已知y與t的函數圖像如圖2所示．其中曲線OM，NP為兩段拋物線，MN為線段．則下列說法：
①點E運動到點S時，用了2.5秒，運動到點D時共用了4秒；
②矩形ABCD的兩鄰邊長為BC＝6cm，CD＝4cm；
③sin∠ABS＝
；
④點E的運動速度為每秒2cm．其中正確的是（ ）
A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“不動點”．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2x，其頂點為A．
（1）試求拋物線y＝x2﹣2x的“不動點”的坐標；
（2）平移拋物線y＝x2﹣2x，使所得新拋物線的頂點B是該拋物線的“不動點”，其對稱軸與x軸交于點C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達式．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】永農化工廠以每噸800元的價格購進一批化工原料，加工成化工產品進行銷售，已知每1噸化工原料可以加工成化工產品0.8噸，該廠預計銷售化工產品不超過50噸時每噸售價為1600元，超過50噸時，每超過1噸產品，銷售所有的化工產品每噸價格均會降低4元，設該化工廠生產并銷售了x噸化工產品．
（1）用x的代數式表示該廠購進化工原料 噸；
（2）當x＞50時，設該廠銷售完化工產品的總利潤為y，求y關于x的函數關系式；
（3）如果要求總利潤不低于38400元，那么該廠購進化工原料的噸數應該控制在什么范圍？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】光明中學以“賞中華詩詞、尋文化基因、品生活之美”為基本宗旨舉辦首屆《詩詞大會》，九年級2班的馬小梅晉級總決賽，比賽過程分兩個環節，參賽選手須在每個環節中各選擇一道題目.
第一環節：橫掃千軍、你說我猜、初級飛花令，（分別用
）表示；
第二環節：出口成詩、飛花令、超級飛花令、詩詞接龍（分別用
表示）.
（1）請用畫樹狀圖或列表的方法表示馬小梅參加總決賽抽取題目的所有可能結果；
（2）求馬小梅參加總決賽抽取題目都是飛花令題目（初級飛花令、飛花令、超級飛花令）的概率.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）證明：DE為⊙O的切線；
（2）連接OE，若BC=4，求△OEC的面積．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】2019年12月27日，我國成功發射了“長征五號”遙三運載火箭.如圖，“長征五號”運載火箭從地面
處垂直向上發射，當火箭到達
處時，從位于地面
處的雷達站測得此時仰角
，當火箭繼續升空到達
處時，從位于地面
處的雷達站測得此時仰角
，已知
，
.
（1）求
的長；
（2）若“長征五號”運載火箭在處進行“程序轉彎”，且
，求雷達站到其正上方點
的距離.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】先鋒中學數學課題組為了了解初中學生閱讀數學教科書的現狀，隨機抽取某校部分初中學生進行調查，調查結果分為“重視”、“一般”、“不重視”、“說不清楚”四種情況（依次用A、B、C、D表示），依據相關數據繪制成以下不完整的統計表和統計圖，請根據圖表中的信息解答下列問題：
類別 | 頻數 | 頻率 |
重視 | a | 0.25 |
一般 | 60 | 0.3 |
不重視 | b | c |
說不清楚 | 10 | 0.05 |
（1）求樣本容量及表格中a，b，c的值，并補全統計圖；
（2）若該校共有2000名學生，請估計該校“不重視閱讀數學教科書”的學生人數．
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