Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AC于點E，交⊙O于點F，連接BF，CF，∠D=∠BFC．
（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若AC=8，tanB=

1

2

，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）根據OD⊥AC，得到∠1+∠2=90°，再用同弧所對的圓周角相等得到∠1=∠BFC，然后等量代換得到∠OAD=90°，證明AD是⊙O的切線．（2）根據垂徑定理求出AE的長，由同弧所對的圓周角相等得到∠C=∠B，求出EF的長，然后在直角△OAE中利用勾股定理求出圓的半徑OA的長，再在直角△OAD中用三角函數求出AD的長．

解答：（1）證明：∵OD⊥AC于點E，
∴∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．
∵∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，
∴∠D+∠2=90°，∠OAD=90°．
∴OA⊥AD于點A．
∵OA是⊙O的半徑，
∴AD是⊙O的切線．

（2）解：∵OD⊥AC于點E，AC是⊙O的弦，AC=8，
∴AE=EC=

AC

2

=4
∵∠B=∠C，tanB=

1

2

，
∴在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC=

1

2

．
∴EF=EC•tanC=2．
設⊙O的半徑為r，則OE=r-2．
在Rt△OAE中，由勾股定理得OA²=OE²+AE²，即r²=（r-2）²+4²．
解得r=5．
∴在Rt△OAE中，tan∠2=

AE

OE

=

4

3

．
∴在Rt△OAD中，AD=OA•tan∠2=5×

4

3

=

20

3

．

點評：本題考查的是切線的判定，（1）根據已知條件求出∠OAD=90°，利用切線的判定定理可以判定AD是⊙O的切線．（2）在直角三角形中分別利用勾股定理和三角函數進行計算求出線段AD的長．