Question

（2007•濟南）已知：如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=CD=10，sinC=．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）點E，F分別是BC，CD上的動點，點E從點B出發向點C運動，點F從點C出發向點D運動，若兩點均以每秒1個單位的速度同時出發，連接EF．求△EFC面積的最大值，并說明此時E，F的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題的關鍵是求出上底和梯形的高，可通過構建直角三角形求解．過D作DM⊥BC于M，那么再直角三角形DMC中，可根據CD的長和∠C的正弦值求出梯形的高，進而可求出CM的長，根據AD=BC-CM也就求出了上底的長，由此可根據梯形的面積公式求出其面積．
（2）本題要先求出三角形EFC的面積與時間的函數關系式，可根據E，F的速度用時間t表示出CE，CF的長，△CEF中，可以用CE作底邊，以CF•sinC作高，可據此得出三角形CEF的面積和時間t的函數關系式，根據函數的性質即可求出EFC的面積最大值和對應的時間t的值，然后根據時間t確定出E、F的具體位置．
解答：解：（1）過點D作DM⊥BC，垂足為M，
在Rt△DMC中，DM=CD•sinC=10×=8
CM===6
∴BM=BC-CM=10-6=4，
∴AD=4
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）DM=（4+10）×8=56；

（2）設運動時間為x秒，則有BE=CF=x，EC=10-x
過點F作FN⊥BC，垂足為N，在Rt△FNC中，FN=CF•sinC=x
∴S_△EFC=EC•FN=（10-x）×x=-x²+4x
當時，S_△EFC=-×5²+4×5=10
即△EFC面積的最大值為10，
此時，點E，F分別在BC，CD的中點處．
點評：本題主要考查了梯形的性質、解直角三角形、圖形面積的求法以及二次函數的綜合應用等知識點．