Question

如圖，⊙O是圓木截面，四邊形ABCD是從這個圓木鋸下的木版橫截面，其中AB為直徑，AD=BC
（1）當∠BAD=75°，⊙O是半徑為30cm時，求弧BC的長；
（2）求證：DC∥AB；
（3）設AD=x，⊙O是半徑為20cm，求四邊形ABCD的周長L關于x的函數關系式，并指出x為何值時，L取得最大值．

Answer 1

分析：（1）求弧BC的長需要知道弧BC所對圓心角的度數，可連接OC、OD，根據∠A=75°，可求出∠AOD=30°，由于AD=BC，因此∠AOD=∠BOC=30°，從而根據弧長公式求出弧BC的長；
（2）連接BD，根據圓周角定理即可得出直線CD和AB的內錯角相等，由此即可證明DC∥AB；
（3）本題的關鍵是求出CD的長，易知四邊形ABCD是等腰梯形，因此可過D作DM⊥AB于M，因此DC=40-2AM，而在直角三角形ABD中，根據射影定理可得出AD²=AM•AB，即可求出AM的長，進而可求出CD的長，然后讓四邊形ABCD四邊相加即可得出L，x的函數關系式，根據函數的性質可得出L的最大值及對應的x的值．

解答：（1）解：連接OD、OC，由∠BAD=75°，OA=OD知∠AOD=30°，
∵AD=BC，
∴∠BOC=∠AOD=30°，
故

BC

的長為5πcm．

（2）證明：連接BD，∵AD=BC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴BC∥AD；

（3）解：過點D作DM⊥AB于M，由（2）知四邊形ABCD為等腰梯形，
從而DC=AB-2AM=40-2AM．
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
易得△DAM∽△BAD，
∴AM=

AD2

AB

=

x2

40

，
∴DC=40-

x2

20

，
∴L=2x+40-

x2

20

+40=-

1

20

x²+2x+80=-

1

20

（x-20）²+100，
其中0＜x＜20

2

，
∴當x=20時，L取得最大值100．

點評：本題主要考查學生運用相似形、圓、二次函數相關知識的綜合能力．