Question

【題目】在平面直角坐標系中，A（0，a）、B（﹣b，0），若b＝+4，C點是B點關于y軸的對稱點．

（1）判斷△ABC的形狀并證明；

（2）P點在第一象限，且∠APC＝135°，試探究關于PA、PB、PC三條線段的確定數量關系；

（3）E點在BC上，F為線段AE的中點，EF繞E點順時針旋轉60°得到EG，E點從B點沿BC運動到C點，求G點隨E點運動的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形，理由詳見解析；（2）當點P在△AOC的外部時，PB﹣PC＝PA，當點P在△AOC內部時，PA2＝2PB2+PC2，證明詳見解析；（3）6．

【解析】

（1）如圖1中，△ABC是等腰直角三角形．根據等腰直角三角形的定義即可判斷．

（2）結論：：①當點P在△AOC的外部時，PB﹣PC＝PA．如圖2中，作AE⊥PA交PB于E．證明△BAE≌△CAP（SAS），△AEP是等腰直角三角形即可．②當點P在△AOC內部時，如圖2﹣1中，PA2＝2PB2+PC2．

（3）如圖3中，連接AG，OG．首先證明∠EOG＝30°，推出點G的運動軌跡是線段（圖中線段G″G′），利用等腰直角三角形的性質求出G′G″即可．

（1）如圖1中，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：

∵b＝

∴a﹣4≥0，8﹣2a≥0

∴a＝4，b＝4

∴A（0，4），B（0，﹣4）

∵B，C關于y軸對稱，

∴C（4，0），

∴OA＝OB＝OC，

∵∠AOB＝∠AOC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）結論：①當點P在△AOC的外部時，PB﹣PC＝PA．

理由：如圖2中，作AE⊥PA交PB于E．

∵∠APC+∠ABC＝180°，

∴A，B，C，P四點共圓，

∴∠APE＝∠ACB＝45°，

∵∠EAP＝90°，

∴∠AEP＝∠APE＝45°，

∴AE＝AP，

∵∠BAC＝∠EAP＝90°，

∴∠BAE＝∠CAP，

∵AB＝AC，AE＝AP，

∴△BAE≌△CAP（SAS），

∴BE＝PC，

∴PB﹣PC＝PB﹣BE＝PE＝PA．

②當點P在△AOC內部時，如圖2﹣1中，PA2＝2PB2+PC2．

理由：將△PBC繞點B順時針旋轉90°得到△HBA，

∵∠BHP＝45°，∠BHA＝∠BPC＝135°，

∴∠AHP＝90°，

∴PA2＝AH2+PH2，

∵PC＝AH，PH＝PB，

∴PA2＝PC2+2PB2．

（3）如圖3中，連接AG，OG．

∵EF＝EG，∠FEG＝60°，

∴△EFG是等邊三角形，

∴FG＝FE＝FA，

∴∠AGE＝90°，∠EAG＝30°，

∵∠AGE＝∠AOE＝90°，

∴A，E，G，O四點共圓，

∴∠EOG＝∠EAG＝30°，

∴點G的運動軌跡是線段（圖中線段G″G′），

由題意△G′AG″是等腰直角三角形，AG′＝AG″＝2，

∴G′G″＝6．

∴當E點從B點沿BC運動到C點，G點隨E點運動的路徑長為6．